Если в пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де вы­со­та равна 4, а пло­щадь диа­го­наль­но­го се­че­ния равна 12, то ее объем равен ...

Если в пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де вы­со­та равна 4, а пло­щадь диа­го­наль­но­го се­че­ния равна 6, то ее объем равен ...

Если в пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де вы­со­та равна 3, а пло­щадь диа­го­наль­но­го се­че­ния равна 9, то ее объем равен ...

Если в пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де вы­со­та равна 6, а пло­щадь диа­го­наль­но­го се­че­ния равна 9, то ее объем равен ...

Если в пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де вы­со­та равна 6, а пло­щадь диа­го­наль­но­го се­че­ния равна 12, то ее объем равен ...

Ука­жи­те но­ме­ра пря­мо­уголь­ни­ков, изоб­ра­жен­ных на ри­сун­ках 1−5, при вра­ще­нии ко­то­рых во­круг сто­ро­ны AD по­лу­ча­ет­ся ци­линдр, осе­вым се­че­ни­ем ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся квад­рат.

1)

2)

3)

4)

5)

Ука­жи­те но­ме­ра пря­мо­уголь­ни­ков, изоб­ра­жен­ных на ри­сун­ках 1−5, при вра­ще­нии ко­то­рых во­круг сто­ро­ны BC по­лу­ча­ет­ся ци­линдр, осе­вым се­че­ни­ем ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся квад­рат.

1)

2)

3)

4)

5)

Ука­жи­те но­ме­ра пря­мо­уголь­ни­ков, изоб­ра­жен­ных на ри­сун­ках 1−5, при вра­ще­нии ко­то­рых во­круг сто­ро­ны AB по­лу­ча­ет­ся ци­линдр, осе­вым се­че­ни­ем ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся квад­рат.

1)

2)

3)

4)

5)

На ри­сун­ке изоб­ра­же­на пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да. Среди от­рез­ков SB, MQ, SM, SO, MN ука­жи­те от­ре­зок, ко­то­рый яв­ля­ет­ся апо­фе­мой пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды.

На ри­сун­ке изоб­ра­же­на пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да. Среди от­рез­ков QM, SQ, SO, QL, SD ука­жи­те от­ре­зок, ко­то­рый яв­ля­ет­ся апо­фе­мой пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды.

Най­ди­те длину ребра пра­виль­ной пя­ти­уголь­ной пи­ра­ми­ды, у ко­то­рой бо­ко­вое ребро равно ребру ос­но­ва­ния, а сумма длин всех ребер равна 30.

Пусть O и O₁  — цен­тры ос­но­ва­ний ци­лин­дра, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке. Тогда об­ра­зу­ю­щей ци­лин­дра яв­ля­ет­ся от­ре­зок:

Пусть O и O₁  — цен­тры ос­но­ва­ний ци­лин­дра, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке. Тогда об­ра­зу­ю­щей ци­лин­дра яв­ля­ет­ся от­ре­зок:

Пусть O и O₁  — цен­тры ос­но­ва­ний ци­лин­дра, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке. Тогда об­ра­зу­ю­щей ци­лин­дра яв­ля­ет­ся от­ре­зок:

Пусть O и O₁  — цен­тры ос­но­ва­ний ци­лин­дра, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке. Тогда об­ра­зу­ю­щей ци­лин­дра яв­ля­ет­ся от­ре­зок:

Пусть O и O₁  — цен­тры ос­но­ва­ний ци­лин­дра, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке. Тогда об­ра­зу­ю­щей ци­лин­дра яв­ля­ет­ся от­ре­зок:

Вы­бе­ри­те три вер­ных утвер­жде­ния, если из­вест­но, что пря­мая а пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти и пе­ре­се­ка­ет ее в точке О.

1)  Любая пря­мая, пер­пен­ди­ку­ляр­ная плос­ко­сти па­рал­лель­на пря­мой а.

2)  Любая пря­мая, пер­пен­ди­ку­ляр­ная пря­мой а, лежит в плос­ко­сти

3)  Пря­мая а пер­пен­ди­ку­ляр­на любой пря­мой плос­ко­сти

4)  Через пря­мую а про­хо­дит един­ствен­ная плос­кость, пер­пен­ди­ку­ляр­ная плос­ко­сти

5)  Су­ще­ству­ет мно­же­ство плос­ко­стей, пер­пен­ди­ку­ляр­ных пря­мой а.

6)  Су­ще­ству­ет един­ствен­ная пря­мая, па­рал­лель­ная пря­мой а и пер­пен­ди­ку­ляр­ная плос­ко­сти

Ответ за­пи­ши­те в виде по­сле­до­ва­тель­но­сти цифр в по­ряд­ке воз­рас­та­ния. На­при­мер: 123.

Вы­бе­ри­те три вер­ных утвер­жде­ния, если из­вест­но, что пря­мая а пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти и пе­ре­се­ка­ет ее в точке О.

1)  Если пря­мая b па­рал­лель­ная пря­мой а, то она пер­пен­ди­ку­ляр­ная плос­ко­сти

2)  Любая пря­мая, пер­пен­ди­ку­ляр­ная пря­мой а и про­хо­дя­щая через току О лежит в плос­ко­сти

3)  Су­ще­ству­ет един­ствен­ная пря­мая, па­рал­лель­ная пря­мой а и пер­пен­ди­ку­ляр­ная плос­ко­сти

4)  Любая пря­мая, пер­пен­ди­ку­ляр­ная пря­мой а, лежит в плос­ко­сти

5)  Через пря­мую а про­хо­дит един­ствен­ная плос­кость, пер­пен­ди­ку­ляр­ная плос­ко­сти

Су­ще­ству­ет мно­же­ство плос­ко­стей, пер­пен­ди­ку­ляр­ных пря­мой а.

6)  Су­ще­ству­ет мно­же­ство плос­ко­стей, пер­пен­ди­ку­ляр­ных пря­мой а.

Ответ за­пи­ши­те в виде по­сле­до­ва­тель­но­сти цифр в по­ряд­ке воз­рас­та­ния. На­при­мер: 123.

Если плос­кость ка­са­ет­ся сферы, диа­метр ко­то­рой равен 24, то рас­сто­я­ние от цен­тра сферы до точки ка­са­ния равно:

Дан пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед ABCDA₁B₁C₁D₁. Точки K и M лежат на реб­рах A₁B₁ и DD₁ со­от­вет­ствен­но, точка N лежит на пря­мой CC₁ (см. рис.). Вы­бе­ри­те вер­ные утвер­жде­ния:

1)  пря­мая MN пе­ре­се­ка­ет пря­мую C₁D₁;

2)  пря­мая KN лежит в плос­ко­сти B₁C₁C;

3)  пря­мая KM лежит в плос­ко­сти KB₁M;

4)  пря­мая KM пе­ре­се­ка­ет пря­мую B₁C₁;

5)  пря­мая KM па­рал­лель­на плос­ко­сти CBB₁;

6)  пря­мая MN па­рал­лель­на плос­ко­сти AA₁B₁.

Ответ за­пи­ши­те циф­ра­ми (по­ря­док за­пи­си цифр не имеет зна­че­ния). На­при­мер, 124.

Если плос­кость ка­са­ет­ся сферы, диа­метр ко­то­рой равен 12, то рас­сто­я­ние от цен­тра сферы до точки ка­са­ния равно:

Дан пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед ABCDA₁B₁C₁D₁. Точки K и M лежат на реб­рах A₁B₁ и DD₁ со­от­вет­ствен­но, точка N лежит на пря­мой CC₁ (см. рис.). Вы­бе­ри­те вер­ные утвер­жде­ния:

1)  пря­мая KN лежит в плос­ко­сти B₁C₁C;

2)  пря­мая MN пе­ре­се­ка­ет пря­мую C₁D₁;

3)  пря­мая MN па­рал­лель­на плос­ко­сти AA₁B₁;

4)  пря­мая KM па­рал­лель­на плос­ко­сти CBB₁;

5)  пря­мая KM лежит в плос­ко­сти KB₁M;

6)  пря­мая KM пе­ре­се­ка­ет пря­мую B₁C₁.

Ответ за­пи­ши­те циф­ра­ми (по­ря­док за­пи­си цифр не имеет зна­че­ния). На­при­мер: 134.

Дана пря­мая тре­уголь­ная приз­ма ABCA₁B₁C₁. Точки M и N яв­ля­ют­ся се­ре­ди­на­ми ребер A₁B₁ и BB₁ со­от­вет­ствен­но, точка K  — се­ре­ди­на диа­го­на­ли A₁C грани AA₁C₁C (см. рис.). Вы­бе­ри­те вер­ные утвер­жде­ния:

1)  пря­мая NK лежит в плос­ко­сти AA₁B₁;

2)  пря­мая MN пе­ре­се­ка­ет пря­мую AB;

3)  пря­мая MN пе­ре­се­ка­ет пря­мую BC;

4)  пря­мая MK пе­ре­се­ка­ет пря­мую AB;

5)  пря­мая MK пе­ре­се­ка­ет плос­кость ACC₁;

6)  пря­мая NK па­рал­лель­на плос­ко­сти A₁C₁B₁.

Ответ за­пи­ши­те циф­ра­ми (по­ря­док за­пи­си цифр не имеет зна­че­ния). На­при­мер: 123.

Дана пря­мая тре­уголь­ная приз­ма ABCA₁B₁C₁. Точки M и N яв­ля­ют­ся се­ре­ди­на­ми ребер A₁B₁ и BB₁ со­от­вет­ствен­но, точка K  — се­ре­ди­на диа­го­на­ли AC₁ грани AA₁C₁C (см. рис.). Вы­бе­ри­те вер­ные утвер­жде­ния:

1)  пря­мая MN пе­ре­се­ка­ет пря­мую BC;

2)  пря­мая MN пе­ре­се­ка­ет плос­кость CAA₁;

3)  пря­мая NK па­рал­лель­на плос­ко­сти ABC;

4)  пря­мая MN пе­ре­се­ка­ет пря­мую AB;

5)  пря­мая MK пе­ре­се­ка­ет пря­мую AB;

6)  пря­мая NK лежит в плос­ко­сти AA₁B₁.

Ответ за­пи­ши­те циф­ра­ми (по­ря­док за­пи­си цифр не имеет зна­че­ния). На­при­мер, 125.

Вы­бе­ри­те три вер­ных утвер­жде­ния, если из­вест­но, что две пер­пен­ди­ку­ляр­ные плос­ко­сти и пе­ре­се­ка­ют­ся по пря­мой a и точка A при­над­ле­жит плос­ко­сти (см. рис.).

1.  Любая пря­мая, про­хо­дя­щая через точку A и пе­ре­се­ка­ю­щая плос­кость пе­ре­се­ка­ет пря­мую a.

2.  Су­ще­ству­ет един­ствен­ная пря­мая, про­хо­дя­щая через точку A и пер­пен­ди­ку­ляр­ная плос­ко­сти

3.  Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку A и пер­пен­ди­ку­ляр­ная плос­ко­сти пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти

4.  Любая точка пря­мой a лежит в плос­ко­стях и

5.  Любая пря­мая, ле­жа­щая в плос­ко­сти и пер­пен­ди­ку­ляр­ная пря­мой a, пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти

6.  Любая пря­мая, пер­пен­ди­ку­ляр­ная пря­мой a, при­над­ле­жит плос­ко­сти

Ответ за­пи­ши­те циф­ра­ми (по­ря­док за­пи­си цифр не имеет зна­че­ния). На­при­мер: 123.

Вы­бе­ри­те три вер­ных утвер­жде­ния, если из­вест­но, что две пер­пен­ди­ку­ляр­ные плос­ко­сти и пе­ре­се­ка­ют­ся по пря­мой a и точка A при­над­ле­жит плос­ко­сти (см. рис.).

1.  Любая точка пря­мой a лежит в плос­ко­стях и

2.  Любая пря­мая, пер­пен­ди­ку­ляр­ная пря­мой a, при­над­ле­жит плос­ко­сти

3.  Су­ще­ству­ет един­ствен­ная пря­мая, про­хо­дя­щая через точку A и пер­пен­ди­ку­ляр­ная плос­ко­сти

4.  Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку A и пер­пен­ди­ку­ляр­ная плос­ко­сти пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти

5.  Су­ще­ству­ет пря­мая, про­хо­дя­щая через точку А пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой а, пер­пен­ди­ку­ляр­ная плос­ко­сти

6.  Любая пря­мая, про­хо­дя­щая через точку A и пе­ре­се­ка­ю­щая плос­кость пе­ре­се­ка­ет пря­мую a.

Ответ за­пи­ши­те циф­ра­ми (по­ря­док за­пи­си цифр не имеет зна­че­ния). На­при­мер: 123.

Дана тре­уголь­ная пи­ра­ми­да SABC. Точки К и N яв­ля­ют­ся се­ре­ди­на­ми ребер SA и АС со­от­вет­ствен­но, точка М лежит на пря­мой SB (см. рис.). Вы­бе­ри­те три вер­ных утвер­жде­ния.

1.  Пря­мая KN па­рал­лель­на плос­ко­сти BSC.

2.  Пря­мая NM пе­ре­се­ка­ет плос­кость BSC.

3.  Пря­мая КМ пе­ре­се­ка­ет пря­мую ВС.

4.  Пря­мая КМ лежит в плос­ко­сти ASВ.

5.  Пря­мая NM пе­ре­се­ка­ет пря­мую ВС.

6.  Пря­мая KN пе­ре­се­ка­ет плос­кость BSC.

Ответ за­пи­ши­те циф­ра­ми (по­ря­док за­пи­си цифр не имеет зна­че­ния). На­при­мер: 135.

Дана тре­уголь­ная пи­ра­ми­да SABC. Точки К и N яв­ля­ют­ся се­ре­ди­на­ми ребер SC и АС со­от­вет­ствен­но, точка М лежит на пря­мой SB (см. рис.). Вы­бе­ри­те три вер­ных утвер­жде­ния.

1.  Пря­мая KN пе­ре­се­ка­ет плос­кость ASB.

2.  Пря­мая KM лежит в плос­ко­сти BSC.

3.  Пря­мая NМ пе­ре­се­ка­ет плос­кость ВSС.

4.  Пря­мая NM пе­ре­се­ка­ет пря­мую BC.

5.  Пря­мая KN па­рал­лель­на плос­ко­сти ASB.

6.  Пря­мая KM пе­ре­се­ка­ет пря­мую AB.

Ответ за­пи­ши­те циф­ра­ми (по­ря­док за­пи­си цифр не имеет зна­че­ния). На­при­мер: 124.

Вы­бе­ри­те три вер­ных утвер­жде­ния, если из­вест­но, что точка А лежит в плос­ко­сти α, ко­то­рая па­рал­лель­на плос­ко­сти β (см. рис.).

1.  Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку А и пе­ре­се­ка­ю­щая плос­кость α, пе­ре­се­ка­ет плос­кость β.

2.  Через точку А про­хо­дит един­ствен­ная Плос­кость, пе­ре­се­ка­ю­щая плос­ко­сти α и β.

3.  Су­ще­ству­ет един­ствен­ная пря­мая, про­хо­дя­щая через точку А и па­рал­лель­ная плос­ко­сти β.

4.  Любая пря­мая, ле­жа­щая в плос­ко­сти β, па­рал­лель­на плос­ко­сти α.

5.  Если плос­ко­сти α и β пе­ре­се­че­ны тре­тьей плос­ко­стью, то пря­мые их пе­ре­се­че­ния па­рал­лель­ны между собой.

6.  Су­ще­ству­ет един­ствен­ная пря­мая, про­хо­дя­щая через точку А и пе­ре­се­ка­ю­щая плос­кость β.

Ответ за­пи­ши­те циф­ра­ми (по­ря­док за­пи­си цифр не имеет зна­че­ния). На­при­мер: 123.

Вы­бе­ри­те три вер­ных утвер­жде­ния, если из­вест­но, что точка А лежит в плос­ко­сти α, ко­то­рая па­рал­лель­на плос­ко­сти β (см. рис.).

1.  Су­ще­ству­ет един­ствен­ная пря­мая, про­хо­дя­щая через точку А и пе­ре­се­ка­ю­щая плос­кость β.

2.  Любая пря­мая, ле­жа­щая в плос­ко­сти β, па­рал­лель­на плос­ко­сти α.

3.  Если плос­ко­сти α и β пе­ре­се­че­ны тре­тьей плос­ко­стью, то пря­мые их пе­ре­се­че­ния па­рал­лель­ны между собой.

4.  Су­ще­ству­ет един­ствен­ная пря­мая, про­хо­дя­щая через точку А и па­рал­лель­ная плос­ко­сти β.

5.  Через точку А про­хо­дит един­ствен­ная плос­кость, пе­ре­се­ка­ю­щая плос­ко­сти α и β.

6.  Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку А и пе­ре­се­ка­ю­щая плос­кость α, пе­ре­се­ка­ет плос­кость β.

Ответ за­пи­ши­те циф­ра­ми (по­ря­док за­пи­си цифр не имеет зна­че­ния). На­при­мер: 134.

Пря­мая a пе­ре­се­ка­ет плос­кость α в точке A и об­ра­зу­ет с плос­ко­стью угол 60°. Точка B лежит на пря­мой a, при­чем AB  =   Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B до плос­ко­сти α.

Пря­мая a пе­ре­се­ка­ет плос­кость α в точке A и об­ра­зу­ет с плос­ко­стью угол 60°. Точка B лежит на пря­мой a, при­чем AB  =   Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B до плос­ко­сти α.

Пря­мая a пе­ре­се­ка­ет плос­кость α в точке A и об­ра­зу­ет с плос­ко­стью угол 60°. Точка B лежит на пря­мой a, при­чем AB  =   Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B до плос­ко­сти α.

Пря­мая a пе­ре­се­ка­ет плос­кость α в точке A и об­ра­зу­ет с плос­ко­стью угол 60°. Точка B лежит на пря­мой a, при­чем AB  =   Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B до плос­ко­сти α.

Пря­мая a пе­ре­се­ка­ет плос­кость α в точке A и об­ра­зу­ет с плос­ко­стью угол 60°. Точка B лежит на пря­мой a, при­чем AB  =   Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B до плос­ко­сти α.

Пря­мая a, па­рал­лель­ная плос­ко­сти α, на­хо­дит­ся от нее на рас­сто­я­нии 6. Через пря­мую a про­ве­де­на плос­кость β, пе­ре­се­ка­ю­щая плос­кость α по пря­мой b и об­ра­зу­ю­щая с ней угол 60°. Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD, если A и B  — такие точки пря­мой a, что AB = 4, а C и D  — такие точки пря­мой b, что CD = 3.

Пря­мая a, па­рал­лель­ная плос­ко­сти α, на­хо­дит­ся от нее на рас­сто­я­нии 2. Через пря­мую a про­ве­де­на плос­кость β, пе­ре­се­ка­ю­щая плос­кость α по пря­мой b и об­ра­зу­ю­щая с ней угол 60°. Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD, если A и B  — такие точки пря­мой a, что AB = 5, а C и D  — такие точки пря­мой b, что CD = 3.

Пря­мая a, па­рал­лель­ная плос­ко­сти α, на­хо­дит­ся от нее на рас­сто­я­нии 3. Через пря­мую a про­ве­де­на плос­кость β, пе­ре­се­ка­ю­щая плос­кость α по пря­мой b и об­ра­зу­ю­щая с ней угол 60°. Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD, если A и B  — такие точки пря­мой a, что AB = 2, а C и D  — такие точки пря­мой b, что CD = 5.

Пря­мая a, па­рал­лель­ная плос­ко­сти α, на­хо­дит­ся от нее на рас­сто­я­нии 4. Через пря­мую a про­ве­де­на плос­кость β, пе­ре­се­ка­ю­щая плос­кость α по пря­мой b и об­ра­зу­ю­щая с ней угол 60°. Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD, если A и B  — такие точки пря­мой a, что AB = 2, а C и D  — такие точки пря­мой b, что CD = 3.

Пря­мая a, па­рал­лель­ная плос­ко­сти α, на­хо­дит­ся от нее на рас­сто­я­нии 3. Через пря­мую a про­ве­де­на плос­кость β, пе­ре­се­ка­ю­щая плос­кость α по пря­мой b и об­ра­зу­ю­щая с ней угол 60°. Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD, если A и B  — такие точки пря­мой a, что AB = 2, а C и D  — такие точки пря­мой b, что CD = 4.

Даны две па­рал­лель­ные плос­ко­сти α и β, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми равно Пря­мая а пе­ре­се­ка­ет плос­ко­сти α и β в точ­ках А и В со­от­вет­ствен­но и об­ра­зу­ет с ними угол 30°. Най­ди­те длину от­рез­ка АВ.

Даны две па­рал­лель­ные плос­ко­сти α и β, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми равно Пря­мая а пе­ре­се­ка­ет плос­ко­сти α и β в точ­ках А и В со­от­вет­ствен­но и об­ра­зу­ет с ними угол 30°. Най­ди­те длину от­рез­ка АВ.

ABCDA₁B₁C₁D₁  — куб. Точки M и N  — се­ре­ди­ны ребер AD и DC со­от­вет­ствен­но, (см. рис.). Се­че­ни­ем куба плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки M, N и K, яв­ля­ет­ся:

ABCDA₁B₁C₁D₁  — куб. Точки M и N  — се­ре­ди­ны ребер B₁C₁ и CC₁ со­от­вет­ствен­но, (см. рис.). Се­че­ни­ем куба плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки M, N и K, яв­ля­ет­ся:

ABCDA₁B₁C₁D₁  — куб. Точки M и N  — се­ре­ди­ны ребер AB и AD со­от­вет­ствен­но, (см. рис.). Се­че­ни­ем куба плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки M, N и K, яв­ля­ет­ся:

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ яв­ля­ет­ся тре­уголь­ник АВС, в ко­то­ром а ра­ди­ус опи­сан­ной около него окруж­но­сти равен Най­ди­те длину диа­го­на­ли грани AA₁C₁C, если пло­щадь этой грани равна

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна Най­ди­те объем V ци­лин­дра, если из­вест­но, что ра­ди­ус его ос­но­ва­ния боль­ше вы­со­ты на 3,5. В ответ за­пи­ши­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ яв­ля­ет­ся тре­уголь­ник АВС, в ко­то­ром ра­ди­ус опи­сан­ной около него окруж­но­сти равен Най­ди­те длину диа­го­на­ли грани AA₁C₁C, если пло­щадь этой грани равна

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна Най­ди­те объем V ци­лин­дра, если из­вест­но, что ра­ди­ус его ос­но­ва­ния боль­ше вы­со­ты на 6,5. В ответ за­пи­ши­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Из пол­но­го бо­ка­ла, име­ю­ще­го форму ко­ну­са вы­со­той 9, от­ли­ли треть (по объ­е­му) жид­ко­сти. Вы­чис­ли­те где h  — вы­со­та остав­шей­ся жид­ко­сти.

Из пол­но­го бо­ка­ла, име­ю­ще­го форму ко­ну­са вы­со­той 10, от­ли­ли пятую часть (по объ­е­му) жид­ко­сти. Вы­чис­ли­те где h  — вы­со­та остав­шей­ся жид­ко­сти.

Из пол­но­го бо­ка­ла, име­ю­ще­го форму ко­ну­са вы­со­той 15, от­ли­ли треть (по объ­е­му) жид­ко­сти. Вы­чис­ли­те где h  — вы­со­та остав­шей­ся жид­ко­сти.

Из пол­но­го бо­ка­ла, име­ю­ще­го форму ко­ну­са вы­со­той 15, от­ли­ли пятую (по объ­е­му) жид­ко­сти. Вы­чис­ли­те где h  — вы­со­та остав­шей­ся жид­ко­сти.

Из пол­но­го бо­ка­ла, име­ю­ще­го форму ко­ну­са вы­со­той 12, от­ли­ли треть (по объ­е­му) жид­ко­сти. Вы­чис­ли­те где h  — вы­со­та остав­шей­ся жид­ко­сти.

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна и его объем равен Най­ди­те вы­со­ту ци­лин­дра.

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна а его объем равен Най­ди­те вы­со­ту ци­лин­дра.

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна а его объем равен Най­ди­те вы­со­ту ци­лин­дра.

Вы­со­та ци­лин­дра в 3 раза боль­ше ра­ди­у­са его ос­но­ва­ния. Най­ди­те объем ци­лин­дра, если ра­ди­ус ос­но­ва­ния равен

Вы­со­та ци­лин­дра в 7 раз боль­ше ра­ди­у­са его ос­но­ва­ния. Най­ди­те объем ци­лин­дра, если ра­ди­ус ос­но­ва­ния равен

Бокал имеет форму ко­ну­са. В него на­ли­та вода на вы­со­ту, рав­ную 4. Если в бокал до­лить воды объ­е­мом, рав­ным одной чет­вер­той объ­е­ма на­ли­той воды, то вода ока­жет­ся на вы­со­те, рав­ной:

Бокал имеет форму ко­ну­са. В него на­ли­та вода на вы­со­ту, рав­ную 8. Если в бокал до­лить воды объ­е­мом, рав­ным одной чет­вер­той объ­е­ма на­ли­той воды, то вода ока­жет­ся на вы­со­те, рав­ной:

Пря­мая a пе­ре­се­ка­ет плос­кость α в точке A и об­ра­зу­ет с этой плос­ко­стью угол 30°. Точка B лежит на пря­мой a, при­чем Най­ди­те длину про­ек­ции от­рез­ка AB на плос­кость α.

Пря­мая a пе­ре­се­ка­ет плос­кость α в точке A и об­ра­зу­ет с этой плос­ко­стью угол 30°. Точка B лежит на пря­мой a, при­чем Най­ди­те длину про­ек­ции от­рез­ка AB на плос­кость α.

ABCDA₁B₁C₁D₁  — пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед, у ко­то­ро­го AB  =  4, AD  =  3, Най­ди­те длину про­стран­ствен­ной ло­ма­ной B₁A₁C₁D (см. рис.).

ABCDA₁B₁C₁D₁  — пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед, у ко­то­ро­го AB  =  9, BC  =  12, Най­ди­те длину про­стран­ствен­ной ло­ма­ной ADBC₁ (см. рис.).

ABCA₁B₁C₁  — пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма, все ребра ко­то­рой равны Точки P и K  — се­ре­ди­ны ребер A₁B₁ и AA₁ со­от­вет­ствен­но, Най­ди­те длину от­рез­ка, по ко­то­ро­му плос­кость, про­хо­дя­щая через M, P, K, пе­ре­се­ка­ет грань BB₁C₁C.

ABCA₁B₁C₁  — пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма, все ребра ко­то­рой равны Точки P и K  — се­ре­ди­ны ребер B₁C₁ и BB₁ со­от­вет­ствен­но, Най­ди­те длину от­рез­ка, по ко­то­ро­му плос­кость, про­хо­дя­щая через M, P, K, пе­ре­се­ка­ет грань AA₁C₁C.

SABCD  — пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да, все ребра ко­то­рой равны 37. Точка М  — се­ре­ди­на ребра SA. Точка N ∈ SD, DN : NS  =  1 : 3. Най­ди­те длину от­рез­ка, по ко­то­ро­му плос­кость, про­хо­дя­щая через точки N, М, В, пе­ре­се­ка­ет ос­но­ва­ние ABCD пи­ра­ми­ды.

SABCD  — пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да, все ребра ко­то­рой равны 41. Точка М  — се­ре­ди­на ребра SD. Точка N ∈ SC, CN : NS  =  1 : 3. Най­ди­те длину от­рез­ка, по ко­то­ро­му плос­кость, про­хо­дя­щая через точки N, М, A, пе­ре­се­ка­ет ос­но­ва­ние ABCD пи­ра­ми­ды.

На ри­сун­ках 1 и 2 изоб­ра­же­ны пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма ABCA₁B₁C₁ и ее раз­верт­ка. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы, если длина ло­ма­ной ACA₁ равна и точки A, C, A₁ лежат на одной пря­мой (см. рис. 2).

Рис. 1

Рис. 2

На ри­сун­ках 1 и 2 изоб­ра­же­ны пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма ABCA₁B₁C₁ и ее раз­верт­ка. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы, если длина ло­ма­ной BAB₁ равна и точки B, A, B₁лежат на одной пря­мой (см. рис. 2).

Рис. 1

Рис. 2

SABCD  — пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да, все ребра ко­то­рой равны 48. Точка M  — се­ре­ди­на ребра SD. Точка СN : NS  =  1 : 3 (см. рис.). Най­ди­те длину от­рез­ка, по ко­то­ро­му плос­кость, про­хо­дя­щая через точки M и N па­рал­лель­но ребру SA, пе­ре­се­ка­ет ос­но­ва­ние ABCD пи­ра­ми­ды.

SABCD  — пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да, все ребра ко­то­рой равны 54. Точка M  — се­ре­ди­на ребра SC. Точка DN : NS  =  1 : 3 (см. рис.). Най­ди­те длину от­рез­ка, по ко­то­ро­му плос­кость, про­хо­дя­щая через точки M и N па­рал­лель­но ребру SB, пе­ре­се­ка­ет ос­но­ва­ние ABCD пи­ра­ми­ды.

Най­ди­те объем пря­мой приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁, в ос­но­ва­нии ко­то­рой лежит па­рал­ле­ло­грамм ABCD, если длины ребер AB и AA₁ равны 4 и 1 со­от­вет­ствен­но, а рас­сто­я­ние точки A₁ до пря­мой CD равно 5.

Най­ди­те объем пря­мой приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁, в ос­но­ва­нии ко­то­рой лежит па­рал­ле­ло­грамм ABCD, если длины ребер AB и AA₁ равны 2 и 1 со­от­вет­ствен­но, а рас­сто­я­ние точки A₁ до пря­мой CD равно 5.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де про­ве­де­но се­че­ние плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через бо­ко­вое ребро и апо­фе­му про­ти­во­ле­жа­щей этому ребру бо­ко­вой грани. Дву­гран­ный угол при ребре ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равен 45°, а ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около се­че­ния, равен Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де про­ве­де­но се­че­ние плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через бо­ко­вое ребро и апо­фе­му про­ти­во­ле­жа­щей этому ребру бо­ко­вой грани. Дву­гран­ный угол при ребре ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равен 45°, а ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около се­че­ния, равен Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды.

Каж­дое бо­ко­вое ребро че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды об­ра­зу­ет с ее вы­со­той, рав­ной угол 30°. Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ник с углом 30° между диа­го­на­ля­ми. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды V, в ответ за­пи­ши­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Каж­дое бо­ко­вое ребро че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды об­ра­зу­ет с ее вы­со­той, рав­ной угол 30°. Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ник с углом 30° между диа­го­на­ля­ми. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды V, в ответ за­пи­ши­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Каж­дое бо­ко­вое ребро че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды об­ра­зу­ет с ее вы­со­той, рав­ной угол 30°. Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ник с углом 30° между диа­го­на­ля­ми. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды V, в ответ за­пи­ши­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Каж­дое бо­ко­вое ребро че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды об­ра­зу­ет с ее вы­со­той, рав­ной угол 30°. Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ник с углом 30° между диа­го­на­ля­ми. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды V, в ответ за­пи­ши­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Каж­дое бо­ко­вое ребро че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды об­ра­зу­ет с ее вы­со­той, рав­ной угол 30°. Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ник с углом 30° между диа­го­на­ля­ми. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды V, в ответ за­пи­ши­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

В ос­но­ва­нии пря­мой че­ты­рех­уголь­ной приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит тра­пе­ция ABCD, у ко­то­рой ∠C = 90°, BC и AD  — ос­но­ва­ния, BC = CC₁. Плос­кость, ко­то­рая про­хо­дит через ребро DC и вер­ши­ну A₁ приз­мы, об­ра­зу­ет угол с плос­ко­стью ос­но­ва­ния (см. рис.) и от­се­ка­ет часть NC₁CA₁D₁D. Если объем приз­мы равен 48, то объем остав­шей­ся части равен … .

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен 16. Плос­кость, па­рал­лель­ная оси ци­лин­дра, пе­ре­се­ка­ет ци­линдр по пря­мо­уголь­ни­ку с пло­ща­дью, рав­ной 120. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния где V  — объем ци­лин­дра, если рас­сто­я­ние от плос­ко­сти се­че­ния до оси ци­лин­дра равно

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен 13. Плос­кость, па­рал­лель­ная оси ци­лин­дра, пе­ре­се­ка­ет ци­линдр по пря­мо­уголь­ни­ку с пло­ща­дью, рав­ной 108. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния где V  — объем ци­лин­дра, если рас­сто­я­ние от плос­ко­сти се­че­ния до оси ци­лин­дра равно

В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC бо­ко­вое ребро SA пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния ABC. Через се­ре­ди­ны ребер AB и SB про­ве­де­на се­ку­щая плос­кость, па­рал­лель­ная ребру BC. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 3 · S, где S  — пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды этой плос­ко­стью, если BC  =  6, SA  =  8.

В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC бо­ко­вое ребро SB пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния ABC. Через се­ре­ди­ны ребер AB и SA про­ве­де­на се­ку­щая плос­кость, па­рал­лель­ная ребру AC. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 5 · S, где S  — пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды этой плос­ко­стью, если AC  =  32, SB  =  2.

ABCA₁B₁C₁  — пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма, у ко­то­рой AB  =  5, AA₁  =  5. Точки Р и Q  — се­ре­ди­ны ребер АВ и А₁С₁ со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния где   — угол между пря­мы­ми PQ и АВ₁.

ABCA₁B₁C₁  — пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма, у ко­то­рой AB  =  3, Точки Р и Q  — се­ре­ди­ны ребер АВ и А₁С₁ со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния где   — угол между пря­мы­ми PQ и АВ₁.

В па­рал­ле­ло­грам­ме длина одной из сто­рон вдвое боль­ше длины дру­гой, а ост­рый угол равен 60°. Боль­шая сто­ро­на па­рал­ле­ло­грам­ма лежит в плос­ко­сти α, а его боль­шая диа­го­наль об­ра­зу­ет с этой плос­ко­стью угол, синус ко­то­ро­го равен Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния где β — угол между плос­ко­стью па­рал­ле­ло­грам­ма и плос­ко­стью α.

В па­рал­ле­ло­грам­ме длина одной из сто­рон вдвое боль­ше длины дру­гой, а ост­рый угол равен 60°. Боль­шая сто­ро­на па­рал­ле­ло­грам­ма лежит в плос­ко­сти α, а его боль­шая диа­го­наль об­ра­зу­ет с этой плос­ко­стью угол, синус ко­то­ро­го равен Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния где β — угол между плос­ко­стью па­рал­ле­ло­грам­ма и плос­ко­стью α.

Дан пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед ABCDA₁B₁C₁D₁, в ко­то­ром и AC  =  4. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния где φ — угол между пря­мы­ми AD₁ и DC₁.

Пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед ABCDA₁B₁C₁D₁, в ко­то­ром DA₁  =  3, AB₁  =  4 и Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния где φ — угол между пря­мы­ми DA₁ и AB₁.

ABCA₁B₁C₁  — пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма, все ребра ко­то­рой равны 3. Точки P и K  — се­ре­ди­ны ребер BC и CC₁ со­от­вет­ствен­но, M ∈ AA₁, AM : AA₁  =  1 : 3 (см. рис.). Най­ди­те уве­ли­чен­ный в 25 раз квад­рат длины от­рез­ка, по ко­то­ро­му плос­кость, про­хо­дя­щая через точки M, K, P, пе­ре­се­ка­ет грань AA₁B₁B.

ABCA₁B₁C₁  — пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма, все ребра ко­то­рой равны 6. Точки P и K  — се­ре­ди­ны ребер B₁C₁ и CC₁ со­от­вет­ствен­но, M ∈ AA₁, A₁M : A₁A  =  1 : 3 (см. рис.). Най­ди­те уве­ли­чен­ный в 25 раз квад­рат длины от­рез­ка, по ко­то­ро­му плос­кость, про­хо­дя­щая через точки M, K, P, пе­ре­се­ка­ет грань AA₁B₁B.

В боль­шой круг шара впи­сан тре­уголь­ник, длина одной из сто­рон ко­то­ро­го равна 6, а про­ти­во­ле­жа­щий этой сто­ро­не угол равен 120°. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния где V  — объем шара.

В боль­шой круг шара впи­сан тре­уголь­ник, длина одной из сто­рон ко­то­ро­го равна 4, а про­ти­во­ле­жа­щий этой сто­ро­не угол равен 135°. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния где V  — объем шара.

Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми, рав­ны­ми 6 и вра­ща­ет­ся во­круг оси, со­дер­жа­щей его ги­по­те­ну­зу. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния где V  — объём фи­гу­ры вра­ще­ния.

Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми, рав­ны­ми 3 и вра­ща­ет­ся во­круг оси, со­дер­жа­щей его ги­по­те­ну­зу. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния где V  — объём фи­гу­ры вра­ще­ния.

Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми, рав­ны­ми 1 и вра­ща­ет­ся во­круг оси, со­дер­жа­щей его ги­по­те­ну­зу. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния где V  — объём фи­гу­ры вра­ще­ния.

Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми, рав­ны­ми и вра­ща­ет­ся во­круг оси, со­дер­жа­щей его ги­по­те­ну­зу. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния где V  — объём фи­гу­ры вра­ще­ния.

Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми, рав­ны­ми и вра­ща­ет­ся во­круг оси, со­дер­жа­щей его ги­по­те­ну­зу. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния где V  — объём фи­гу­ры вра­ще­ния.

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды SABCD яв­ля­ет­ся ромб со сто­ро­ной и углом BAD, рав­ным Ребро SD пер­пен­ди­ку­ляр­но ос­но­ва­нию, а ребро SB об­ра­зу­ет с ос­но­ва­ни­ем угол Най­ди­те ра­ди­ус R сферы, про­хо­дя­щей через точки A, B, C и се­ре­ди­ну ребра SB. В ответ за­пи­ши­те зна­че­ние вы­ра­же­ния R².

Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ равен 1728. Точка P лежит на бо­ко­вом ребре CC₁ так, что CP : PC₁ = 2 : 1. Через точку P, вер­ши­ну D и се­ре­ди­ну бо­ко­во­го ребра AA₁ про­ве­де­на се­ку­щая плос­кость, ко­то­рая делит пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед на две части. Най­ди­те объём мень­шей из ча­стей.

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды SABCD яв­ля­ет­ся ромб со сто­ро­ной и углом BAD, рав­ным Ребро SD пер­пен­ди­ку­ляр­но ос­но­ва­нию, а ребро SB об­ра­зу­ет с ос­но­ва­ни­ем угол Най­ди­те ра­ди­ус R сферы, про­хо­дя­щей через точки A, B, C и се­ре­ди­ну ребра SB. В ответ за­пи­ши­те зна­че­ние вы­ра­же­ния R².

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды SABCD яв­ля­ет­ся ромб со сто­ро­ной и углом BAD, рав­ным Ребро SD пер­пен­ди­ку­ляр­но ос­но­ва­нию, а ребро SB об­ра­зу­ет с ос­но­ва­ни­ем угол Най­ди­те ра­ди­ус R сферы, про­хо­дя­щей через точки A, B, C и се­ре­ди­ну ребра SB. В ответ за­пи­ши­те зна­че­ние вы­ра­же­ния R².

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды SABCD яв­ля­ет­ся ромб со сто­ро­ной и углом BAD, рав­ным Ребро SD пер­пен­ди­ку­ляр­но ос­но­ва­нию, а ребро SB об­ра­зу­ет с ос­но­ва­ни­ем угол Най­ди­те ра­ди­ус R сферы, про­хо­дя­щей через точки A, B, C и се­ре­ди­ну ребра SB. В ответ за­пи­ши­те зна­че­ние вы­ра­же­ния R².

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды SABCD яв­ля­ет­ся ромб со сто­ро­ной и углом BAD, рав­ным Ребро SD пер­пен­ди­ку­ляр­но ос­но­ва­нию, а ребро SB об­ра­зу­ет с ос­но­ва­ни­ем угол 60°. Най­ди­те ра­ди­ус R сферы, про­хо­дя­щей через точки A, B, C и се­ре­ди­ну ребра SB. В ответ за­пи­ши­те зна­че­ние вы­ра­же­ния R².

Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ равен 1728. Точка P лежит на бо­ко­вом ребре CC₁ так, что CP : PC₁ = 2 : 1. Через точку P, вер­ши­ну D и се­ре­ди­ну бо­ко­во­го ребра AA₁ про­ве­де­на се­ку­щая плос­кость, ко­то­рая делит пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед на две части. Най­ди­те объём боль­шей из ча­стей.

Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ равен 432. Точка P лежит на бо­ко­вом ребре CC₁ так, что CP : PC₁ = 2 : 1. Через точку P, вер­ши­ну D и се­ре­ди­ну бо­ко­во­го ребра AA₁ про­ве­де­на се­ку­щая плос­кость, ко­то­рая делит пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед на две части. Най­ди­те объём мень­шей из ча­стей.

Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ равен 864. Точка P лежит на бо­ко­вом ребре CC₁ так, что CP : PC₁ = 2 : 1. Через точку P, вер­ши­ну D и се­ре­ди­ну бо­ко­во­го ребра AA₁ про­ве­де­на се­ку­щая плос­кость, ко­то­рая делит пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед на две части. Най­ди­те объём боль­шей из ча­стей.

Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ равен 2160. Точка P лежит на бо­ко­вом ребре CC₁ так, что CP : PC₁ = 2 : 1. Через точку P, вер­ши­ну D и се­ре­ди­ну бо­ко­во­го ребра AA₁ про­ве­де­на се­ку­щая плос­кость, ко­то­рая делит пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед на две части. Най­ди­те объём мень­шей из ча­стей.

ABCDA₁B₁C₁D₁  — пря­мая че­ты­рех­уголь­ная приз­ма, объем ко­то­рой равен 960. Ос­но­ва­ни­ем приз­мы яв­ля­ет­ся па­рал­ле­ло­грамм ABCD. Точки M и N при­над­ле­жат реб­рам A₁D₁ и С₁D₁, так что A₁M : A₁D₁ = 1 : 2, D₁N : NC₁ = 2 : 1. От­рез­ки A₁N и B₁M пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды SB₁KNC₁, если и B₁S : SD = 3 : 1.

ABCDA₁B₁C₁D₁  — пря­мая че­ты­рех­уголь­ная приз­ма, объем ко­то­рой равен 672. Ос­но­ва­ни­ем приз­мы яв­ля­ет­ся па­рал­ле­ло­грамм ABCD. Точки M и N при­над­ле­жат реб­рам A₁D₁ и С₁D₁, так что A₁M : MD₁ = 2 : 1, D₁N : NC₁ = 1 : 3. От­рез­ки A₁N и B₁M пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды SB₁KNC₁, если и B₁S : SD = 3 : 1.

ABCDA₁B₁C₁D₁  — пря­мая че­ты­рех­уголь­ная приз­ма, объем ко­то­рой равен 720. Ос­но­ва­ни­ем приз­мы яв­ля­ет­ся па­рал­ле­ло­грамм ABCD. Точки M и N при­над­ле­жат реб­рам A₁D₁ и С₁D₁, так что A₁M : MD₁ = 1 : 2, D₁N : NC₁ = 1 : 2. От­рез­ки A₁N и B₁M пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды SB₁KNC₁, если и B₁S : SD = 3 : 1.

На сто­ро­не AB па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD от­ме­че­на точка O так, что К плос­ко­сти ABCD из точки O вос­ста­нов­лен пер­пен­ди­ку­ляр SO дли­ной 8. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния где   — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла BSCD, если и из­вест­но, что пло­щадь ABCD равна 45.

На сто­ро­не BC пря­мо­уголь­ни­ка ABCD от­ме­че­на точка O так, что Из точки O вос­ста­нов­лен пер­пен­ди­ку­ляр SO к плос­ко­сти пря­мо­уголь­ни­ка. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды ABCDS, если из­вест­но, что где   — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла BSAD,

На сто­ро­не AB па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD от­ме­че­на точка O так, что К плос­ко­сти ABCD из точки O вос­ста­нов­лен пер­пен­ди­ку­ляр SO дли­ной 5. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния где   — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла BSCD, если и из­вест­но, что пло­щадь ABCD равна 80.

Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, длина ги­по­те­ну­зы ко­то­ро­го равна 10, вы­со­та, про­ве­ден­ная к ней, равна 3, вра­ща­ет­ся во­круг пря­мой, пер­пен­ди­ку­ляр­ной ги­по­те­ну­зе и про­хо­дя­щей в плос­ко­сти тре­уголь­ни­ка через вер­ши­ну боль­ше­го остро­го угла. Най­ди­те объем V тела вра­ще­ния и в ответ за­пи­ши­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, длина ги­по­те­ну­зы ко­то­ро­го равна 5, вы­со­та, про­ве­ден­ная к ней равна 2, вра­ща­ет­ся во­круг пря­мой, пер­пен­ди­ку­ляр­ной ги­по­те­ну­зе и про­хо­дя­щей в плос­ко­сти тре­уголь­ни­ка через вер­ши­ну боль­ше­го остро­го угла. Най­ди­те объем V тела вра­ще­ния и в ответ за­пи­ши­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Объем пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABC равен 13. Через сто­ро­ну ос­но­ва­ния ВС про­ве­де­но се­че­ние, де­ля­щее по­по­лам дву­гран­ный угол SBCA и пе­ре­се­ка­ю­щее бо­ко­вое ребро SA в точке М. Объем пи­ра­ми­ды МАВС равен 6. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния где   — угол между плос­ко­стью ос­но­ва­ния и плос­ко­стью бо­ко­вой грани пи­ра­ми­ды SABC.

Объем пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABC равен 13. Через сто­ро­ну ос­но­ва­ния AС про­ве­де­но се­че­ние, де­ля­щее по­по­лам дву­гран­ный угол SACB и пе­ре­се­ка­ю­щее бо­ко­вое ребро SB в точке М. Объем пи­ра­ми­ды МАВС равен 4. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния где   — угол между плос­ко­стью ос­но­ва­ния и плос­ко­стью бо­ко­вой грани пи­ра­ми­ды SABC.

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды SABCD яв­ля­ет­ся вы­пук­лый че­ты­рех­уголь­ник ABCD, диа­го­на­ли АС и BD ко­то­ро­го пер­пен­ди­ку­ляр­ны и пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O, АО  =  9, ОС  =  16, ВО  =  OD  =  12. Вер­ши­на S пи­ра­ми­ды SABCD уда­ле­на на рас­сто­я­ние от каж­дой из пря­мых AB, BC, СD и AD. Через се­ре­ди­ну вы­со­ты пи­ра­ми­ды SABCD па­рал­лель­но ее ос­но­ва­нию про­ве­де­на се­ку­щая плос­кость, ко­то­рая делит пи­ра­ми­ду на две части. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 10 · V, где V  — объем боль­шей из ча­стей.

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды SABCD яв­ля­ет­ся вы­пук­лый че­ты­рех­уголь­ник ABCD, диа­го­на­ли АС и BD ко­то­ро­го пер­пен­ди­ку­ляр­ны и пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O, АО  =  12, ВО  =  OD  =  5. Вер­ши­на S пи­ра­ми­ды SABCD уда­ле­на на рас­сто­я­ние от каж­дой из пря­мых AB, BC, СD и AD. Через се­ре­ди­ну вы­со­ты пи­ра­ми­ды SABCD па­рал­лель­но ее ос­но­ва­нию про­ве­де­на се­ку­щая плос­кость, ко­то­рая делит пи­ра­ми­ду на две части. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 68 · V, где V  — объем боль­шей из ча­стей.

Рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция с ос­но­ва­ни­я­ми дли­ной 7 и 3 и ост­рым углом 60° вра­ща­ет­ся во­круг пря­мой, со­дер­жа­щей ее бо­ко­вую сто­ро­ну. Най­ди­те объем тела вра­ще­ния V и в ответ за­пи­ши­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция с ос­но­ва­ни­я­ми дли­ной 5 и 1 и ост­рым углом 60° вра­ща­ет­ся во­круг пря­мой, со­дер­жа­щей ее бо­ко­вую сто­ро­ну. Най­ди­те объем тела вра­ще­ния V и в ответ за­пи­ши­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с дли­ной ребра, рав­ной 118. На реб­рах ВС и ВВ₁ взяты со­от­вет­ствен­но точки М и N так, что и Через точки M, N, A₁ про­ве­де­на плос­кость. Най­ди­те рас­сто­я­ние d от точки С до этой плос­ко­сти. В ответ за­пи­ши­те зна­че­ние вы­ра­же­ния d².

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с дли­ной ребра, рав­ной 88. На реб­рах AD и AA₁ взяты со­от­вет­ствен­но точки М и N так, что Через точки M, N, B₁ про­ве­де­на плос­кость. Най­ди­те рас­сто­я­ние d от точки D до этой плос­ко­сти. В ответ за­пи­ши­те зна­че­ние вы­ра­же­ния d².

ABCDA₁B₁C₁D₁  — куб. Точка K лежит на ребре AB куба так, что AK : KB  =  2 : 1. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния где φ  — угол между пря­мы­ми A₁K и B₁D₁.

ABCDA₁B₁C₁D₁  — куб. Точка K лежит на ребре AD куба так, что AK : KD  =  1 : 4. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния где φ  — угол между пря­мы­ми D₁K и A₁C₁.

Ос­но­ва­ни­ем че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся ромб, у ко­то­ро­го ко­си­нус угла равен и длина сто­ро­ны равна 8. Все бо­ко­вые грани пи­ра­ми­ды на­кло­не­ны к плос­ко­сти ее ос­но­ва­ния под углом α, а вы­со­та пи­ра­ми­ды равна 18. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Ос­но­ва­ни­ем че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся ромб, у ко­то­ро­го ко­си­нус угла равен и длина сто­ро­ны равна 16. Все бо­ко­вые грани пи­ра­ми­ды на­кло­не­ны к плос­ко­сти ее ос­но­ва­ния под углом α, а вы­со­та пи­ра­ми­ды равна 24. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ра­же­на пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да SABCD, точка O  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей ос­но­ва­ния ABCD. Среди пря­мых BC; BD; SO; SB; SD ука­жи­те пря­мую, по ко­то­рой пе­ре­се­ка­ют­ся плос­ко­сти DSO и SCB.

Дана пря­мая тре­уголь­ная приз­ма ABCA₁B₁C₁. Точка M яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ребра AB, (см. рис.). Вы­бе­ри­те вер­ные утвер­жде­ния. В от­ве­те ука­жи­те но­ме­ра вы­бран­ных утвер­жде­ний.

1)  Рас­сто­я­ние от точки C₁ до пря­мой AB равно длине от­рез­ка BC₁.

2)  Рас­сто­я­ние от точки C₁ до пря­мой AB равно длине от­рез­ка C₁M.

3)  Рас­сто­я­ние от точки A до пря­мой ВС равно длине от­рез­ка АВ.

4)  Рас­сто­я­ние между пря­мы­ми ВВ₁ и CC₁ равно длине от­рез­ка ВС₁.

5)  Рас­сто­я­ние между пря­мы­ми А₁В₁ и АВ равно длине от­рез­ка AA₁.

6)  Рас­сто­я­ние от точки В до пря­мой АС равно длине от­рез­ка ВС.

Плос­кость, па­рал­лель­ная ос­но­ва­нию тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды, делит ее вы­со­ту в от­но­ше­нии 5 : 3, если счи­тать от вер­ши­ны пи­ра­ми­ды. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды дан­ной плос­ко­стью, если она мень­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды на 39.

Дана пра­виль­ная пя­ти­уголь­ная пи­ра­ми­да SABCDF, у ко­то­рой длина сто­ро­ны AF ос­но­ва­ния ABCDF равна  а длина бо­ко­во­го ребра SA равна равна  (см. рис.). Най­ди­те апо­фе­му SL пи­ра­ми­ды SABCDF.

ABCDA₁B₁C₁D₁  — куб. От­ре­зок BD₁ яв­ля­ет­ся диа­го­на­лью куба. Вы­бе­ри­те вер­ные утвер­жде­ния.

1)  пря­мая BD₁ лежит в плос­ко­сти DD₁C₁

2)  пря­мая BD₁ пе­ре­се­ка­ет плос­кость BB₁A₁

3)  пря­мая BD₁ лежит в плос­ко­сти B₁BD

4)  пря­мые BD₁ и C₁D₁ яв­ля­ют­ся скре­щи­ва­ю­щи­ми­ся

5)  пря­мая BD₁ пе­ре­се­ка­ет пря­мую AC₁

6)  пря­мая BD₁ пе­ре­се­ка­ет пря­мую A₁B₁

Ответ за­пи­ши­те циф­ра­ми (по­ря­док за­пи­си цифр не имеет зна­че­ния). На­при­мер: 134.

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCA₁B₁C₁ лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC, у ко­то­ро­го Из­вест­но, что Най­ди­те квад­рат длины про­стран­ствен­ной ло­ма­ной MBB₁A₁, где M  — се­ре­ди­на ребра AC (см. рис.).

Угол BSC пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABC равен Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния где   — угол между бо­ко­вым реб­ром SB и плос­ко­стью ос­но­ва­ния ABC,   — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла SBCA.

ABCDA₁B₁C₁D₁  — пря­мой па­рал­ле­ле­пи­пед, объем ко­то­ро­го равен Длины сто­рон AB и BC ос­но­ва­ния ABCD равны и со­от­вет­ствен­но, ко­си­нус угла ABC равен На реб­рах AA₁ и A₁B₁ взяты точки M и N со­от­вет­ствен­но, такие, что AM : MA₁  =  4 : 1, A₁N : NB₁  =  1 : 4. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния где φ  — угол между пря­мы­ми MN и BC₁.

Точки A, B, C лежат на по­верх­но­сти шара так, что Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния где V  — объем шара, если рас­сто­я­ние от цен­тра шара до плос­ко­сти тре­уголь­ни­ка ABC равно 

Дана пра­виль­ная пя­ти­уголь­ная пи­ра­ми­да SABCDF, у ко­то­рой длина сто­ро­ны BC ос­но­ва­ния ABCDF равна  а длина бо­ко­во­го ребра SC равна равна  (см. рис.). Най­ди­те апо­фе­му SM пи­ра­ми­ды SABCDF.

ABCDA₁B₁C₁D₁  — куб. От­ре­зок AC₁ яв­ля­ет­ся диа­го­на­лью куба. Вы­бе­ри­те вер­ные утвер­жде­ния.

1)  пря­мая AC₁ пе­ре­се­ка­ет пря­мую B₁D

2)  пря­мая AC₁ лежит в плос­ко­сти AA₁B₁

3)  пря­мая AC₁ пе­ре­се­ка­ет пря­мую DD₁

4)  пря­мая AC₁ лежит в плос­ко­сти A₁AC

5)  пря­мая AC₁ пе­ре­се­ка­ет плос­кость CC₁D₁

6)  пря­мые AC₁ и AA₁ яв­ля­ют­ся скре­щи­ва­ю­щи­ми­ся

Ответ за­пи­ши­те циф­ра­ми (по­ря­док за­пи­си цифр не имеет зна­че­ния). На­при­мер: 126.

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCA₁B₁C₁ лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC, у ко­то­ро­го Из­вест­но, что Най­ди­те квад­рат длины про­стран­ствен­ной ло­ма­ной MBB₁A₁, где M  — се­ре­ди­на ребра AC (см. рис.).

Точки A, B, C лежат на по­верх­но­сти шара так, что Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния где V  — объем шара, если рас­сто­я­ние от цен­тра шара до плос­ко­сти тре­уголь­ни­ка ABC равно 

Угол ASB пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABC равен Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния где   — угол между бо­ко­вым реб­ром SA и плос­ко­стью ос­но­ва­ния ABC,   — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла SABC.

На ри­сун­ке изоб­ра­же­на пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да SABCD, точка O  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей ос­но­ва­ния ABCD. Среди пря­мых AC; SD; SB; CD; SO ука­жи­те пря­мую, по ко­то­рой пе­ре­се­ка­ют­ся плос­ко­сти BSO и SCD.

Дана пря­мая тре­уголь­ная приз­ма ABCA₁B₁C₁. Точка M яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ребра A₁B₁, (см. рис.). Вы­бе­ри­те вер­ные утвер­жде­ния. В от­ве­те ука­жи­те но­ме­ра вы­бран­ных утвер­жде­ний.

1)  Рас­сто­я­ние между пря­мы­ми B₁C₁ и BC равно длине от­рез­ка CC₁.

2)  Рас­сто­я­ние от точки C до пря­мой A₁B₁ равно длине от­рез­ка CA₁.

3)  Рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AA₁ и CC₁ равно длине от­рез­ка CA₁.

4)  Рас­сто­я­ние от точки A₁ до пря­мой B₁C₁ равно длине от­рез­ка A₁B₁.

5)  Рас­сто­я­ние от точки C до пря­мой A₁B₁ равно длине от­рез­ка CM.

6)  Рас­сто­я­ние от точки B₁ до пря­мой A₁C₁ равно длине от­рез­ка A₁B₁.

Плос­кость, па­рал­лель­ная ос­но­ва­нию тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды, делит ее вы­со­ту в от­но­ше­нии 3 : 2, если счи­тать от вер­ши­ны пи­ра­ми­ды. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды дан­ной плос­ко­стью, если она мень­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды на 48.

ABCDA₁B₁C₁D₁  — пря­мой па­рал­ле­ле­пи­пед, объем ко­то­ро­го равен Длины сто­рон AB и BC ос­но­ва­ния ABCD равны и 1 со­от­вет­ствен­но, ко­си­нус угла BCD равен На реб­рах BB₁ и B₁C₁ взяты точки M и N со­от­вет­ствен­но, такие, что BM : MB₁  =  3 : 2, B₁N : NC₁  =  2 : 3. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния где φ  — угол между пря­мы­ми MN и CD₁.